Correction Exercice 20 — Intégrale (TSE)

Énoncé

$$ I_n=\int_0^1 \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1+x^2}}\,dx \quad (n \ge 0) $$

1) Calculer $ I_0 $

2) Montrer que : $ (2n+1)I_n=\sqrt{2}-2nI_{n-1} $

3) Déduire $ I_1, I_2, I_3 $

$$ I_0=\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx $$

On pose : $ u=1+x^2 \Rightarrow du=2x\,dx $

$$ I_0=\frac12 \int_1^2 \frac{du}{\sqrt{u}} $$ $$ I_0=\frac12[2\sqrt{u}]_1^2 $$ $$ \boxed{I_0=\sqrt{2}-1} $$

On écrit :

$$ I_n=\int_0^1 x^{2n}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx $$

Intégration par parties :

$$ I_n=\left[x^{2n}\sqrt{1+x^2}\right]_0^1-2n\int_0^1 x^{2n-1}\sqrt{1+x^2}dx $$

Or :

$$ \int_0^1 x^{2n-1}\sqrt{1+x^2}dx=I_{n-1}+I_n $$

Donc :

$$ I_n=\sqrt{2}-2n(I_{n-1}+I_n) $$ $$ (2n+1)I_n=\sqrt{2}-2nI_{n-1} $$

Relation démontrée.

$$ I_1=\frac{2-\sqrt{2}}{3} $$ $$ I_2=\frac{7\sqrt{2}-8}{15} $$ $$ I_3=\frac{48-27\sqrt{2}}{105} $$

$$ I_0=\sqrt{2}-1 $$ $$ I_1=\frac{2-\sqrt{2}}{3} $$ $$ I_2=\frac{7\sqrt{2}-8}{15} $$ $$ I_3=\frac{48-27\sqrt{2}}{105} $$